Понятие случайного процесса. Типы случайных процессов

Определение

где произвольное множество , называется случайной функцией.

Терминология

Данная классификация нестрогая. В частности, термин "случайный процесс" часто используется как безусловный синоним термина "случайная функция".

Классификация

Траектория случайного процесса

Пусть дан случайный процесс . Тогда для каждого фиксированного - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход , то - детерминистическая функция параметра . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции .

Примеры

является случайным процессом.

Примечания

См. также

Источники

А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. - Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
С. И. Баскаков. Радио/технические цепи и сигналы. - Высшая школа, 2000.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Альпола, Антеро
Головка самонаведения

Смотреть что такое "Случайный процесс" в других словарях:

случайный процесс - — случайный процесс вероятностный процесс стохастический процесс Случайная функция X(t) от независимой переменной t (в экономике она чаще всего интерпретируется как время). Иначе … Справочник технического переводчика

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС - (вероятностный или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером случайного … Большой Энциклопедический словарь

Случайный процесс - (вероятностный, стохастический процесс) случайная функция X(t) от независимой переменной t (в экономике она чаще всего интерпретируется как время). Иначе говоря, это такой процесс, течение которого может быть различным в… … Экономико-математический словарь

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС - ф ция непрерывного времени,значение к рой в каждый момент является случайной величиной, т … Физическая энциклопедия

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС - функция 2 х аргументов X(t)= X(ω,t); множество элементарных событий, параметр, обычно интерпретируемый как время. Для каждого tX(ω,t) функция только ω и представляет собой случайную величину. Для фиксированного ω X(ω,t)… … Геологическая энциклопедия

Случайный процесс - 1. Случайный процесс Вероятностный процесс Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

случайный процесс - (вероятностный, или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером… … Энциклопедический словарь

Случайный процесс - (вероятностный, или стохастический) процесс (т. е. изменение во времени состояния некоторой системы), течение которого может быть различным в зависимости от случая и для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным … Большая советская энциклопедия

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС - (вероятностный, или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик нек рой системы под влиянием разл. случайных факторов, для к рого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером С. п. может… … Естествознание. Энциклопедический словарь

случайный процесс - tikimybinis procesas statusas T sritis chemija apibrėžtis Procesas, kuris iš anksto negali būti tiksliai nusakytas, o yra apibūdinamas jo vykimo tikimybe. atitikmenys: angl. probabilistic process; random process; stochastic process rus.… … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Книги

, Груздев А.. Практическое применение методов машинного обучения на базе популярных статистических пакетов IBM SPSS Statistics, R и Python Строительство и интерпретация дерева решенийи случайного леса … Купить за 3202 руб
Прогнозное моделирование в IBM SPSS Statistics, R и Python. Метод деревьев решений и случайный лес , Груздев Артем Владимирович. Данная книга представляет собой практическое руководство по применению метода деревьев решений и случайного леса для задач сегментации, классификации и прогнозирования. Каждый раздел книги…

В этой главе будут рассмотрены основные определения, связанные с понятиями случайного процесса и его частного случая – временного ряда. Во многом эти определения параллельны тем, которые были даны выше для случайных величин. Это связано с тем, что случайный процесс можно рассматривать как систему (одномерный массив) случайных величин или же как случайную величину, зависящую от параметра.

§1. Определения случайного процесса и временного ряда

Под случайной функцией переменной t понимается соответствие, в силу которого каждому значению переменной t, принадлежащей некоторому заданному множеству U (называемому областью определения рассматриваемой функции) сопоставляется случайная величина X(t). Обычно U - это некоторое числовое множество, так что речь идет о случайной величине, зависящей от некоторого числового параметра t. В приложениях в качестве параметра t обычно фигурирует время и тогда X(t) часто называют случайным процессом. Иногда в качестве параметра t берется и некоторая пространственная координата. Случайный процесс – это случайная величина, взятая в динамике (временной, пространственной и т.п.) ее развития. Например, напряжение в электросети, наблюдаемое в течении некоторого заданного промежутка времени, вовсе не постоянно, как принято считать, а является случайным процессом, колеблясь вокруг своего номинального значения 220v. Реализуемая в некотором конкретном эксперименте функция x(t), состоящая из значений случайной величины X(t), называется реализацией этой случайной величины. Для напряжения реализация – это зависимость напряжения от времени при одном определенном измерении в заданном временном интервале. Еще одним примером случайного процесса является число пятен, наблюдаемое на Солнце работниками некоторой определенной обсерватории. Здесь важно подчеркнуть, что нужно рассматривать именно данные одной обсерватории, так как для разных обсерваторий случайные функции X(t) будут разными (т.е. случайные величины X(t) при каждом t будут немного отличаться в разных обсерваториях). Еще примеры случайных процессов – число отказов оборудования на данном предприятии, курс некоторой валюты (например, доллара) на бирже (например, на московской или лондонской), население города, броуновское движение микрочастиц в жидкости или газе, турбулентность и так далее.

Переменная t не обязательно должна меняеться непрерывно. Может оказаться, что она принимает дискретный набор значений. Например, областью определения случайной функции может быть множество N всех натуральных чисел (или какое-либо другое семейство равноотстоящих значений). В этом случае X(t) называется временным рядом. Временной ряд можно рассматривать как последовательность {X n } случайных величин. Реализация случайного процесса – это определенная последовательность чисел (т.е. числовая функция натурального аргумента). Итак, между случайным процессом и временным рядом нет принципиального различия, они отличаются только характером своей области определения. Поэтому их изучение можно производить параллельно.

Почти все приведенные выше примеры случайных процессов на самом деле более естественно рассматривать как примеры временных рядов. Например, число пятен на Солнце измеряется не непрерывно, а лишь раз в день (или чуть чаще, но даже далеко не каждую минуту) и потому результат является реализацией временного ряда. Отказы оборудования и курс доллара тоже определеяются не непрерывно и потому их тоже стоит рассматривать как примеры временных рядов. А вот напряжение в электросети, регистрируемое каким-либо прибором непрерывно, является типичным примером случайного процесса.

Если зафиксировать значение переменной t=t 0 , то случайная величина X(t 0), соответствующая этому значению, называется сечением случайного процесса. Поэтому случайный процесс – это набор сечений.

Часто случайные процессы можно задавать аналитически. Например, рассмотрим следующие два случайных процесса:

Y(t)=a∙sinΩt,

где A и Ω – случайные величины, a и ω – некоторые постоянные величины. Тогда X(t) можно рассматривать как гармонические колебания с постоянной частотой (равной ω), но со случайной амплитудой (задаваемой случайной величиной A). Например, это могут быть колебания некоторого фиксированного математического маятника, для которых начальное отклонение (определяющее амплитуду) выбирается случайно. Случайный процесс Y(t) можно рассматривать как гармонические колебания, имеющие постоянную амплитуду, но частота которых случайна.

При изучении случайных процессов обычно бывает необходимо решить следующие задачи:

1. Вычислить числовые и функциональные характеристики процесса (описательные методы).

2. Определить, имеется ли некоторая неслучайная, закономерная компонента, описывающая тенденцию (тренд) процесса.

3. Определить, нет ли регулярных, колебательных “сезонных” компонент, которые связаны с периодическими естественными колебаниями параметров случайного процесса.

4. Выделить и описать основные колебания случайного процесса вокруг тренда, в случае необходимости удалить влияние второстепенных факторов.

5. Дать прогноз развития случайной процесса на ближайшее будущее и указать степень уверенности в этом прогнозе.

Анализ случайных процессов находит применение во многих областях - научных и прикладных. Например, его используют в экономике, метеорологии (прогноз температуры, осадков, паводков и др.), морских дисциплинах, геофизике, маркетинге, при анализе производственных процессов (для выделения факторов, изменяющихся во времени и влияющих на эффективность этих процессов), в военном деле и так далее.

Основные характеристики случайных процессов аналогичны тем, которые используются при изучении случайных величин. Только теперь добавляется зависимость этих характеристик от параметра t. Для временных рядов получается последовательность чисел, каждое из которых соответствует данному моменту времени.

Функцией распределения случайного процесса X(t) называется функция F(x,t)=P. При каждом фиксированном t=t 0 мы получаем функцию распределения F(x,t 0) случайной величины X(t 0). Тем самым F(x,t) полностью характеризует каждое сечение случайного процесса X(t). Однако это не дает исчерпывающей характеристики случайного процесса в отличие от случайных величин, для которых знание функции распределения позволяет получить всю необходимую информацию о случайной величине. Для случайного же процесса важна и взаимная связь различных сечений. Совместное распределение двух сечений случайного процесса X(t) описывается двумерной функцией распределения:

F(x 1 ,x 2 ,t 1 ,t 2)=P.

Аналогично можно вести и функции совместных распределений трех и более сечений. Все они будут нести важную информацию об исходном случайном процессе. Однако с увеличением числа рассматриваемых сечений эти функции становятся все более сложными и потому обычно ограничиваются рассмотрением только первых двух функций распределения – одномерной и двумерной.

Плотность распределения (одномерная) случайного процесса получается, как и в случай случайных величин, дифференцированием

функции распределения

Математическое ожидание случайного процесса – это функция, которая при каждом значении параметра t равно математическому ожиданию соответствующего сечения. Если величины X(t) при каждом t являются дискретными случайными величинами, то они задаются законами распределения

x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) ...

p 1 (t) p 2 (t) p 3 (t) ... .

В этом случае математическое ожидание случайного процесса вычисляется по формуле:

M(X(t))=
.

Для временного ряда {X n } математическое ожидание вычисляется по формуле:

MX n =

Если процесс X(t) образован непрерывными случайными величинами, то математическое ожидание через плотность распределения этого случайного процесса выражается следующим естественным образом:

M(X(t))=
.

Свойства математического ожидания для случайного процесса те же, что для математического ожидания отдельной случайной величины. Это не удивительно, так как математическое ожидания для каждого значения параметра t зависит только от сечения в этой точки.

Математическое ожидание случайного процесса является некоторой обычной (неслучайной) функцией переменной t. График этой функции описывает развитие во времени среднего значения величины X(t). При этом может оказаться, что этот график – прямая линия, параллельная оси t. В этом случае случайный процесс можно рассматривать как случайные колебания вокруг некоторого постоянного значения. Такого рода процессы очень часто встречаются на практике.

Если случайный процесс X(t) центрировать, вычтя из него функцию MX(t), то получим центрированный случайный процесс, которые представляет собой случайные колебания вокруг нулевого значения. Иногда случайный процесс еще и нормируют, деля его на среднеквадратичное отклонение σ X (см. ниже), при этом получается процесс с нулевым средним и с единичной дисперсией. Эта нормировка удобна для сравнения между собой случайных процессов разного рода.

Определение дисперсии случайного процесса тоже вполне очевидно. Его можно записать также в виде:

D(X(t))=M(X(t)) 2 -MX(t)) 2 .

Если процесс X(t) образован дискретными величинами, то развернутая формула для вычисления дисперсии имеет вид

D(X(t))=(x i (t)-MX(t)) 2 p i.

Для непрерывного случая имеем формулу

D(X(t))=
.

Ясно, что и свойства дисперсии случайного процесса по сути не отличаются от свойств дисперсии случайной величины. Дисперсия случайного процесса характеризует степень рассеяния различных реализаций случайного процесса вокруг его “средней реализации” (т.е. математического ожидания случайного процесса). Для случайных процессов вводится, конечно, и понятие среднеквадратичного отклонения σ(X(t)) – это корень квадратный из дисперсии.

Два случайных процесса X(t) и Y(s) называются независимыми, если для каждых значений параметров t и s независимы случайные величины X(t)и Y(s). Это означает, что должны быть независимыми события и при любых значений переменных x и y и аргументов t и s. Например, есть все основание предполагать, что курс доллара на московской бирже и температура воздуха в городе Москве независимы.

Однако понятие независимости на практике не является абсолютным и потому может оказаться, что эти два не связанных между собой (на первый взгляд) процесса на самом деле нельзя рассматривать как независивые. Чтобы убедиться в независимости двух процессов, иногда приходится проводить довольно длительные исследования.

Для независимых случайных процессов их математические ожидания и дисперсии, как и в случае отдельных случайных величин, обладают дополнительными свойствами:

M(X(t)Y(t))=M(X(t))M(Y(t)),

D(X(t)+Y(t))=D(X(t))+D(Y(t)).

Рассмотрим некоторые примеры вычисления математического ожидания и дисперсии случайных процессов.

Пусть X(t)=at+B, где a – некоторое постоянное число, а B – случайная величина. Тогда имеем

Графики реализаций этого случайного процесса являются параллельными между собой прямыми, а график функции M(X(t)) – это как бы средняя среди всего этого множества прямых. Далее, имеем

так как слагаемое at не является случайным и потому на значение дисперсии не влияет (см. выше).

2. X(t)=A 1 sinω 1 t + A 2 sinω 2 t,

где A 1 и A 2 – случайные величины, а ω 1 и ω 2 – некоторые постоянные числа. Предположим, что случайные величины A 1 и A 2 независимы, их математические ожидания равны 0, а их дисперсии одинаковы и равны некоторому числу σ 2 . Имеем тогда, используя свойства математического ожидания и дисперсии, такие соотношения:

M(X(t))=M(A 1)sinω 1 t + M(A 2)sinω 2 t=0+0=0,

D(X(t))= D(A 1)sin 2 ω 1 t + D(A 2)sin 2 ω 2 t= σ 2 (sin 2 ω 1 t+sin 2 ω 2 t),

σ(X(t))= σ
.

Несмотря на то, что математическое ожидание и дисперсия случайного процесса являются очень полезными характеристиками, для серьезного изучения случайных процессов этих характеристик оказывается далеко не достаточно. Дело в том, что эти две характеристики ничего не говорят о том, как связаны между собой различные сечения случайного процесса. А без знания такой связи не стоит и пытаться искать методы прогнозирования случайных процессов.

Так как временной ряд – это частный случай понятия случайной фенкции, то все сказанное выше о характеристиках случайных процессов в полной мере относится и к временным рядам. Для них математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам, аналогичным приведенным выше. Только теперь в результате получаются не функции, а последовательности чисел.

Выше речь шла о скалярных случайных процессах, где случайные величины одномерны. Можно рассматривать и вектор-значные (или, иначе говоря, многомерные) случайные процессы, в которых каждому значению параметра t соответствует некоторый случайный вектор. Например, в таком виде можно задать движение артиллерийского снаряда с течением времени. Вектор-значный случайный процесс можно рассматривать как систему, состоящую из нескольких скалярных случайных процессов. Поэтому многие методы исследования, применяемые в теории скалярных (одномерных) случайных процессов, подходят и для исследования вектор-значных процессов. Однако тут есть и свои специфические проблемы.

Множество случайных явлений, которые имеют место в природе, являются функциями времени. Например, метеорологические явления, такие как случайные флуктуации температуры воздуха и давления воздуха, являются функциями времени. Напряжение теплового шума, создаваемое в резисторах электронных устройств, таких как радиоприёмник, также является функцией времени. Подобным образом, сигнал на выходе источника, который выдает информацию, характеризуется как случайный сигнал, меняющийся во времени. Звуковой сигнал который передается в телефонном канале, является примером такого сигнала. Все это примеры стохастических (случайных) процессов. При изучении систем цифровой связи мы используем случайные процессы для характеристики и моделирования сигналов, создаваемых источниками информации, для характеристики каналов связи, используемых для передачи информации, для характеристики шумов, создаваемых в приёмнике, и при синтезе оптимального приёмника для обработки принимаемого случайного сигнала.

В заданный момент времени величина случайного процесса, будь то величина напряжения шума в резисторе или амплитуда сигнала, создаваемого звуковым источником, является случайной величиной. Таким образом, мы можем рассматривать случайный процесс как случайную величину; индексируемую параметром . Мы будем обозначать такой процесс . Вообще говоря, параметр непрерывен, в то время как может быть или непрерывным или дискретным, в зависимости от характеристик источника, который создает случайный процесс.

Шумовое напряжение, создаваемое единственным резистором, или сообщение, выдаваемое источником информации, представляет единственную реализацию случайного процесса. Поэтому их называют выборочной функцией случайного процесса. Ряд всех возможных выборочных функций, например ряд всех шумовых напряжений, создаваемых резисторами, определяют ансамбль выборочных функций или, что эквивалентно, случайный процесс . Вообще говоря, число выборочных функций (реализаций) в ансамбле может быть очень большим; часто оно бесконечно.

Определяя случайный процесс как ансамбль реализаций, мы можем рассмотреть значения процесса в ряде моментов времени , где - положительное целое число. В общем, случайные величины , характеризуются статистически их СФПВ . Все вероятностные соотношения, определенные в разд. 2.1 для многомерных случайных величин, распространяются на случайные величины , .

Стационарные случайные процессы. Как указано выше, случайные величины , , полученные из случайного процесса для ряда моментов времени при некотором , характеризуется статистически СФПВ . Рассмотрим другой ряд случайных величин , , где - произвольный временной сдвиг, одинаковый для всех . Эти случайные величины характеризуются СФПВ . СФПВ случайных величин и , , могут быть одинаковыми или нет. Если они одинаковы, т е если

для всех и , случайный процесс называется стационарным в строгом смысле . Это значит, что статистика стационарного случайного процесса инвариантна к произвольному смещению по оси времени. С другой стороны, если СФПВ различны, случайный процесса называют нестационарным .

Определение

где произвольное множество , называется случайной функцией.

Терминология

Классификация

Траектория случайного процесса

Примеры

является случайным процессом.

Примечания

См. также

Источники

А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. - Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
С. И. Баскаков. Радио/технические цепи и сигналы. - Высшая школа, 2000.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Случайный процесс" в других словарях:

- (вероятностный или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером случайного … Большой Энциклопедический словарь

Ф ция непрерывного времени,значение к рой в каждый момент является случайной величиной, т … Физическая энциклопедия

Функция 2 х аргументов X(t)= X(ω,t); множество элементарных событий, параметр, обычно интерпретируемый как время. Для каждого tX(ω,t) функция только ω и представляет собой случайную величину. Для фиксированного ω X(ω,t)… … Геологическая энциклопедия

- (вероятностный, или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером… … Энциклопедический словарь

- (вероятностный, или стохастический) процесс (т. е. изменение во времени состояния некоторой системы), течение которого может быть различным в зависимости от случая и для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным … Большая советская энциклопедия

- (вероятностный, или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик нек рой системы под влиянием разл. случайных факторов, для к рого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером С. п. может… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

, Груздев А.. Практическое применение методов машинного обучения на базе популярных статистических пакетов IBM SPSS Statistics, R и Python Строительство и интерпретация дерева решенийи случайного леса …
Прогнозное моделирование в IBM SPSS Statistics, R и Python. Метод деревьев решений и случайный лес , Груздев Артем Владимирович. Данная книга представляет собой практическое руководство по применению метода деревьев решений и случайного леса для задач сегментации, классификации и прогнозирования. Каждый раздел книги…

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ - процессы, протекание которых во времени частично пли полностью непредсказуемо. Теория С. п. служит для построения количественных моделей реальных процессов, в т. ч. для прогнозирования их будущих значений на основе текущей информации и априорных данных, для выделения полезной информации при наличии помех, оценки неизмеряемых параметров и др.

В медицине большое число процессов (напр., процесс размножения опухолевых клеток, число вызовов скорой помощи и др.) определяется столь большим количеством неконтролируемых факторов, что адекватное их описание и анализ целесообразно проводить в рамках теории С. п.

Математически С. п. представляют собой такие функции времени, значение к-рых в каждый момент является случайной величиной (см. Вероятностей теория). Каждому элементарному случайному событию при этом соответствует нек-рая определенная неслучайная функция времени, называемая реализацией, или траекторией, С. п. Свойства реализаций служат основным предметом исследования теории С. п. Эти свойства выражаются вероятностью нек-рых событий (напр., выхода траекторий за фиксированный уровень, попадание в заданную область, наличие или отсутствие скачков в заданном интервале времени и др.). В рамках теории С. п. решаются также некоторые статистические задачи (напр., задачи фильтрации, экстеро- и интерополяций).

В общем случае принято считать, что случайный процесс задан (т. е. задание сформулировано), когда определены все совместные функции распределения значений процесса для любого конечного набора моментов времени; функции распределения носят название конечномерных функций распределения.

Другими неслучайными функциями, связанными с С. п., являются m{t) - математическое ожидание С. п., характеризующее среднее по множеству наблюдений значение С. п., и R (ti, t2) - корреляционная функция, характеризующая степень зависимости значений С. п. в разные моменты времени (см. Корреляционный анализ).

Основные классы случайных процессов. Учитывая большое разнообразие С. п., из всей их совокупности выделены отдельные классы и для каждого класса разработаны свои методы исследования.

Стационарные С. п. - это С. п., в к-рых все конечномерные функции распределения ие меняются при сдвиге времени на фиксированную величину. Стационарные С. п. обладают рядом характерных свойств: среднее значение стационарного С. п. в каждый момент одно и то же, а корреляционная функция R(t1,t2), зависит лишь от разности между моментами времени t1 и t2. С. п. этого типа могут быть представлены суммой, или интегралом, гармонических колебаний, амплитуды и фазы к-рых являются случайными величинами. Интенсивности гармонических составляющих образуют спектр С. п. Частным случаем стационарных С. п. является эргодический стационарный С. п.: в рамках этого метода по одной единственной реализации С. п. можно восстановить все его вероятностные характеристики. В частности. для каждой траектории эргодического случайного процесса среднее по времени равно математическому ожиданию С. п.

Гауссовские С. п. - это С. п., в к-рых все конечномерные функции распределений являются гауссовскими. Для его задания необходимы только две функции - математическое ожидание m (t) и корреляционная функция R(t1, t2).

Марковские С. п. обладают следующим свойством: для любого момента времени будущее процесса зависит только от его состояния в данный момент времени и не зависит от его предыстории. Для задания марковского С. п. достаточно знать лишь одномерные функции распределения и вероятности перехода из одного состояния в другое. Марковские С. п. образуют большой класс процессов, к-рый включает в себя марковские С. п. с независимыми приращениями, диффузионные С. п., скачкообразные марковские С. п., ветвящиеся С. п. и др.

Количество различных классов С. п., применяемых при математическом моделировании реальных явлений, постоянно увеличивается в соответствии с потребностями практики. В медико-биол. практике С. п. используются в основном в теоретических исследованиях, что связано со сложностью математического аппарата, применяемого при анализе С. п. Основатель кибернетики Винер (N. Wiener) с помощью теории стационарных С. п. в 1961 г. исследовал ритмы биотоков головного мозга. Позже С. п. нашли применение при количественных исследованиях в нейрофизиологии и кардиологии (стационарные и диффузионные С. п.), онкологии (марковские случайные процессы размножения и гибели), в эпидемиологии и здравоохранении.

Библиография: Балантер Б. И. Вероятностные модели в физиологии, М., 1977; Вентце ль А. Д. Курс теории случайных процессов, М., 1975; Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов, пер. с англ., М., 1961; Г и х-м а н И. И. и Скороход А. В. Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973.