Эффект близнецов. Парадокс близнецов (мысленный эксперимент): объяснение

Так называемый "парадокс часов" был сформулирован (1912 г., Поль Ланжевен) через 7 лет после создания специальной теории относительности и указывает на некоторые "противоречия" в использовании релятивистксго эффекта замедления времени.. Для удобства речи и для "большей наглядности" парадокс часов формулируют также как "парадокс близнецов". Я также использую эту формулировку. Первоначально парадокс активно обсуждался в научной литературе и особенно много в популярной. В настоящее время парадокс близнецов считается полностью разрешенным, не содержит никаких необъясненных проблем, и практически исчез со страниц научной и даже популярной литературы.

Я привлекаю ваше внимание к парадоксу близнецов потому, что он, вопреки сказанному выше, "все еще содержит" необъясненные проблемы и не только "не разрешен", но и в принципе не может быть разрешен в рамках теории относительности Эйнштейна, т.е. это парадокс не столько "парадокс близнецов в теории относительности", сколько "парадокс самой теории относительности Эйнштейна".

Суть парадокса близнецов состоит в следующем. Пусть П (путешественник) и Д (домосед) братья-близнецы. П отправляется в длительное космическое путешествие, а Д остается дома. Через некоторое время П возвращается. Основную часть пути П движется по инерции, с постоянной скоростью (время на разгон, торможение, остановки пренебрежимо мало по сравнению с общим временем путешествия и им пренебрегаем). Движение с постоянной скоростью относительно, т.е. если П удаляется (приближается, покоится) относительно Д , то и Д также удаляется (приближается, покоится) относительно П назовем это симметрией близнецов. Далее, в соответствии с СТО, время для П , с точки зрения Д , течет медленнее, чем собственное время Д , т.е. собственное время путешествия П меньше, времени ожидания Д . В этом случае говорят, что по возвращению П моложе Д . Это утверждение, само по себе, не является парадоксом, это следствие релятивистского замедления времени. Парадокс же состоит в том, что Д , в силу симметрии, может, с таким же правом , считать себя путешественником, а П домоседом, и тогда Д моложе П .

Общепринятое сегодня (каноническое) разрешение парадокса сводится к тому, что ускорениями П нельзя пренебрегать, т.е. его система отсчета не является инерциальной, в его системе отсчета временами возникают силы инерции, и следовательно никакой симметрии нет. Кроме того, в системе отсчета П ускорение эквивалентно появлению гравитационного поля, в котором время также замедляется (это уже на основании общей теории относительности). Таким образом, время П замедляется как в системе отсчета Д (по СТО, когда П движется по инерции), так и в системе отсчета П (по ОТО, когда он ускоряется), т.е. замедление времени П становится абсолютным. Окончательный вывод : П , по возвращению, моложе Д , и это не является парадоксом!

Таково, повторяем, каноническое разрешение парадокса близнецов. Однако, во всех известных нам подобных рассуждениях не учитывается один "маленький" нюанс релятивистский эффект замедления времени это КИНЕМАТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ (в статье Эйнштейна первая часть, где выводится эффект замедления времени, так и называется "Кинематическая часть"). Применительно к нашим близнецам это означает, что, во-первых, есть только двое близнецов и НЕТ НИЧЕГО БОЛЕЕ, в частности, нет абсолютного пространства, и во-вторых близнецы (читай эйнштейновские часы) не имеют массы. Это необходимые и достаточные условия формулировки парадокса близнецов. Любые дополнительные условия приводят к "другому парадоксу близнецов". Разумеется, можно формулировать и затем разрешать "другие парадоксы близнецов", но тогда надо, соответственно, использовать "другие релятивистские эффекты замедления времени", например, сформулировать и доказать , что релятивистский эффект замедления времени имеет место только в абсолютном пространстве, или только при условии, что часы имеют массу и т.п. Как известно, ничего подобного в эйнштейновской теории нет.

Пройдемся снова по каноническим доказательствам. П время от времени ускоряется... Ускоряется относительно чего? Только относительно другого близнеца (ничего другого просто нет. Однако, во всех канонических рассуждениях по умолчанию предполагается существование еще одного "действующего лица", которого нет ни в формулировке парадокса, ни в теории Эйнштейна, абсолютного пространства, и тогда П ускоряется относительно этого абсолютного пространства, тогда как Д покоится относительно этого же абсолютного пространства налицо нарушение симметрии). Но кинематически ускорение относительно так же, как и скорость, т.е. если близнец-путешественник ускоряется (удаляется, приближается или покоится) относительно своего брата, то и брат-домосед, точно так же, ускоряется (удаляется, приближается или покоится) относительно своего брата-путешественника, симметрия и в этом случае не нарушается (!) . Никакие силы инерции или гравитационные поля в системе отсчета ускоренного брата не возникают также и по причине отсутствия массы у близнецов. По этой же причине неприменима здесь и общая теория относительности. Таким образом симметрия близнецов не нарушается, и парадокс близнецов остается неразрешенным . в рамках эйнштейновской теории относительности. В защиту такого вывода можно привести и чисто философский довод: кинематический парадокс должен разрешаться кинематически , и негоже привлекать для его разрешения другие, динамические теории, как это делаетcя в канонических доказательствах. Замечу в заключение, что парадокс близнецов это не физический парадокс, но парадокс нашей логики (апория типа апорий Зенона), применяемой к анализу конкретной псевдофизической ситуации. Это, в свою очередь, означает, что любые аргументы типа возможности или невозможности технической реализации такого путешествия, возможной связи между близнецами посредством обмена световыми сигналами с учетом эффекта Доплера и т.п., также не должны привлекаться для разрешения парадокса (в частности, не греша против логики , можем считать время разгона П от нуля до крейсерской скорости, время разворота, время торможения при подлете к Земле сколь угодно малыми, даже "мгновенными").

С другой стороны, сама теория относительности Эйнштейна указывает на еще один, совершенно иной аспект парадокса близнецов. В той же первой статье по теории относительности (СНТ, т.1, с.8) Эйнштейн пишет: "Мы должны обратить внимание на то, что все наши суждения, в которых время играет какую-либо роль, всегда являются суждениями об одновременных событиях (курсив Эйнштейна)". (Мы, в определенном смысле, идем дальше Эйнштейна, полагая одновременность событий необходимым условием реальности событий .) Применительно к нашим близнецам это означает следующее: относительно каждого из них его брат всегда одновременен с ним (т.е. реально существует), что бы с ним ни происходило. Это не означает, что время, прошедшее от начала путешествия, для них одинаково, когда они находятся в разных точках пространства, но абсолютно необходимо должно быть одинаковым, когда они находятся в одной точке пространства. Последнее означает, что их возраст был одинаков в момент начала путешествия (они же близнецы), когда они находились в одной точке пространства, далее их возраст взаимно менялся во время путешествия одного из них в зависимости от его скорости (теорию относительности никто не отменил), когда они находились в разных точках пространства, и снова стал одинаков в конце путешествия, когда они снова оказались в одной точке пространства.. Разумеется, они оба постарели, но процесс старения мог проходить у них по разному, с точки зрения одного или другого, но в конечном счете, они состарились одинаково. Заметим, что эта новая ситуация для близнецов попрежнему симметрична.. Теперь, с учетом последних замечаний, парадокс близнецов становится качественно иным принципиально неразрешимым в рамках специальной теории относительности Эйнштейна.

Последнее (совместно с целым рядом подобных "претензий" к СТО Эйнштейна, см. главу XI нашей книги или аннотацию к ней в статье "Математические начала современной натуральной философии" на этом сайте) неизбежно приводит к необходимости пересмотра специальной теории относительности. Я не рассматриваю свою работу как опровержение СТО и, тем более, не призываю от неё отказаться вообще, но я предлагаю её дальнейшее развитие, предлагаю новую "Специальную теорию относительности (СТО* новая редакция)", в которой, в частности, "парадокса близнецов" просто нет как такового (для тех, кто еще не познакомился со статьей "«Специальные» теории относительности", сообщаю, что в новой специальной теории относительности время замедляется , только когда подвижная инерциальная система приближается к неподвижной, и время ускоряется , когда подвижная система отсчета удаляется от неподвижной, и в итоге ускорение времени в первой половине пути (удаление от Земли) компенсируется замедлением времени во второй половине (приближение к Земле), и нет никаких замедленных старений близнеца-путешественника, никаких парадоксов. Путешественники будущего могут не опасаться, по возвращению, попасть в отдаленное будущее Земли! ). Построены также две принципиально новые теории относительности, не имеющие аналогов, "«Специальная общая» теория относительноси (СОТО)" и "Кватерная Вселенная" (модель Вселенной как "самостоятельная теория относительности"). Статья "«Специальные» теории относительности" опубликована на этом сайте. Я посвятил эту статью предстоящему 100-летию теории относительности . Приглашаю вас высказаться по поводу моих идей, а также по поводу теории относительности в связи с её 100-летием.

Мясников Владимир Макарович [email protected]
Сентябрь 2004 г.

Дополнение (Добавлено октябрь 2007)

"Парадокс" близнецов в СТО*. Никаких парадоксов!

Итак, симметрия близнецов является неустранимой в задаче о близнецах, что в эйнштейновской СТО приводит к неразрешимому парадоксу: то становится очевидным, что модифицированная СТО без парадокса близнецов должна давать результат Т (П ) = Т (Д ) что, кстати, полностью соответствует нашему здравому смыслу. Именно такие выводы получаются в СТО* - новая редакция.

Напомню, что в СТО*, в отличие от эйнштейновской СТО, время замедляется, только когда подвижная система отсчета приближается к неподвижной, и ускоряется, когда подвижная система отсчета удаляется от неподвижной. Формулируется это так (см. , формулы (7) и (8)):

где V - абсолютная величина скорости

Уточним, далее, понятие инерциальной системы отсчета, которое учитывает неразрывное единство пространства и времени в СТО*. Я определяю инерциальную систему отсчета (см. Теория относительности, новые подходы, новые идеи. или Пространство и эфир в математике и физике.) как точку отсчета и её окрестность, все точки которой определены из точки отсчета и пространство которой однородно и изотропно. Но неразрывное единство пространства и времени с необходимостью требует, чтобы точка отсчета, зафиксированная в пространстве, была также зафиксирована и во времени, иначе говоря - точка отсчета в пространстве должна быть и точкой отсчета времени.

Так, я рассматриваю две неподвижные системы отсчета, связанные с Д : неподвижную систему отсчета в момент старта (система отсчета провожающего Д ) и неподвижную систему отсчета в момент финиша (система отсчета встречающего Д ). Отличительной особенностью этих систем отсчета является то, что в системе отсчета провожающего Д время течет от точки отсчета в будущее, а путь, пройденный ракетой с П растет, независимо от того куда и как она движется, т.е. в этой системе отсчета П удаляется от Д и в пространстве и во времени. В системе отсчета встречающего Д - время течет из прошлого к точке отсчета и момент встречи приближается, а путь ракеты с П до точки отсчета уменьшается, т.е. в этой системе отсчета П приближается к Д и в пространстве, и во времени.

Вернемся к нашим близнецам. Напоминаю, что я рассматриваю задачу о близнецах как логическую задачу (апорию типа апорий Зенона) в псевдофизических условиях кинематики, т.е. считаю, что П движется все время с постоянной скоростью, полагая время на ускорение при разгоне, торможении и т.п. пренебрежимо малым (нулевым).

Два близнеца П (путешественник) и Д (домосед) обсуждают на Земле предстоящий полет П к звезде Z , находящейся на расстоянии L от Земли, и обратно, с постоянной скоростью V . Расчетное время полета, от старта на Земле до финиша на Земле, для П в его системе отсчета равно T = 2L / V . Но в системе отсчета провожающего Д П удаляется и, следовательно, его время полета (время ожидания его на Земле), равно (см. (!!)), и это время значительно меньше T , т.е. время ожидания меньше времени полета! Парадокс? Разумеется, нет, поскольку этот совершенно справедливый вывод "остался" в системе отсчета провожающего Д . Теперь Д встречает П уже в другой системе отсчета встречающего Д , а в этой системе отсчета П приближается, и время его ожидания равно, в соответствии с (!!!), , т.е. собственное время полета П и собственное время ожидания Д совпадают. Никаких противоречий!

Предлагаю рассмотреть конкретный (разумеется, мысленный) "эксперимент", расписанный по времени для каждого близнеца, и в любой системе отсчета. Для определенности, пусть звезда Z удалена от Земли на расстояние L = 6 световых лет. И пусть П на ракете летит туда и обратно с постоянной скоростью V = 0,6 c . Тогда его собственное время полета T = 2L / V = 20 лет. Вычислим также и (см. (!!) и (!!!)). Договоримся также, что с интервалом в 2 года, в контрольные моменты времени, П будет посылать сигнал (со скоростью света) на Землю. "Эксперимент" состоит в регистрации времени приема сигналов на Земле, их анализе и сравнения с теорией.

Все данные измерений моментов времени приведены в таблице:

1	2	3	4	5	6	7
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0 1,2 2,4 3,6 4,8 6,0 4,8 3,6 2,4 1,2 0	0 2,2 4,4 6,6 8,8 11,0 10,8 10,6 10,4 10,2 10,0	-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0	-20,0 -16,8 -13,6 -10,4 -7,2 -4,0 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0	0 3,2 6,4 9,6 12,8 16,0 16,8 17,6 18,4 19,2 20,0

В столбцах с номерами 1 - 7 приводятся: 1. Контрольные моменты времени (в годах) в системе отсчета ракеты . Эти моменты фиксируют интервалы времени от момента старта, или показания часов на ракете, на которых установлен "ноль" в момент старта. Контрольные моменты времени определяют на ракете моменты посылки сигнала на Землю. 2. Те же контрольные моменты времени, но в системе отсчета провожающего близнеца (где "ноль" также установлен на момент старта ракеты). Они определяются по (!!) с учетом . 3. Расстояния от ракеты до Земли в световых годах в контрольные моменты времени или время распространения соответствующего сигнала (в годах) от ракеты до Земли 4. в системе отсчета провожающего близнеца . Определяется как контрольный момент времени в системе отсчета провожающего близнеца (столбец 2 3 ). 5. Те же контрольные моменты времени, но теперь в системе отсчета встречающего близнеца . Особенность этой системы отсчета в том, что теперь "ноль" времени определяется в момент финиша ракеты, и все контрольные моменты времени оказываются в прошлом. Приписываем им знак "минус", и с учетом неизменности направления времени (от прошлого к будущему) меняем их последовательность в столбце на противоположный. Абсолютные значения этих моментов времени находятся по соответствующим значениям в системе отсчета провожающего близнеца (столбец 2 ) умножением на (см. (!!!)). 6. Момент приема на Земле соответствующего сигнала в системе отсчета встречающего близнеца . Определяется как контрольный момент времени в системе отсчета встречающего близнеца (столбец 5 ) плюс соответствующее время распространения сигнала от ракеты до Земли (столбец 3 ). 7. Реальные моменты времени приема сигнала на Земле. Дело в том, что Д неподвижен в пространстве (на Земле), но движется в реальном времени, и в момент приема сигнала он уже находится не в системе отсчета провожающего близнеца , но в системе отсчета момента времени приема сигнала . Как определить этот момент реального времени? Сигнал, по условию, распространяется со скоростью света, а это значит, что два события А = {Земля в момент приема сигнала} и В = {точка пространства, в которой находится ракета в момент отправки сигнала} (напоминаю, что событием в пространстве-время называется точка в определенный момент времени) являются одновременными , т.к. Δx = c Δt , где Δx - пространственное расстояние между событиями, а Δt - временнОе, т.е. время распространения сигнала от ракеты до Земли (см. определение одновременности в "Специальные" теории относительности , формула (5)). А это, в свою очередь, означает, что Д , с равным правом, может считать себя как в системе отсчета события А, так и в системе отсчета события В. В последнем случае ракета приближается, и в соответствии с (!!!), все интервалы времени (до этого контрольного момента) в системе отсчета провожающего близнеца (столбец 2 ) следует умножить на и затем прибавить соответствующее время распространения сигнала (столбец 3 ). Сказанное справедливо для любого контрольного момента времени, включая финальный, т.е. момент финиша путешествия П . Так вычисляется столбец 7 . Естественно, реальные моменты приема сигнала не зависят от способа их вычисления, именно об этом говорит фактическое совпадение столбцов 6 и 7 .

Рассмотренный "эксперимент" только подтверждает основной вывод о том, что собственное время полета близнеца-путешественника (его возраст) и собственное время ожидания близнеца-домоседа (его возраст) совпадают и при этом нет никаких противоречий! "Противоречия" возникают лишь в некоторых системах отсчета, например, в системе отсчета провожающего близнеца , но это никак не влияет на окончательный результат, поскольку в этой системе отсчета близнецы в принципе не могут встретиться, тогда как в системе отсчета встречающего близнеца , где близнецы реально встречаются, уже никаких противоречий нет. Повторяю еще раз: Путешественники будущего могут не опасаться, по возвращению на Землю, попасть в её отдаленное будущее!

Октябрь 2007 г.

Парадокс близнецов

Затем, в 1921 году простое объяснение, основанное на инвариантности собственного времени, предложил Вольфганг Паули .

Некоторое время «парадокс близнецов» почти не привлекал к себе внимания. В 1956-1959 годах Герберт Дингл выступил с рядом статей , в которых утверждалось, что известные объяснения «парадокса» неверны. Несмотря на ошибочность аргументации Дингла , его работы вызвали многочисленные дискуссии в научных и научно-популярных журналах . В результате появился ряд книг, посвящённых этой теме. Из русскоязычных источников стоит отметить книги , а также статью .

Большинство исследователей не считают «парадокс близнецов» демонстрацией противоречия теории относительности, хотя история появления тех или иных объяснений «парадокса» и придания ему новых форм не прекращается до настоящего времени .

Классификация объяснений парадокса

Объяснить парадокс, подобный «парадоксу близнецов», можно при помощи двух подходов:

1) Выявить происхождение логической ошибки в рассуждениях, которые привели к противоречию; 2) Провести детальные вычисления величины эффекта замедления времени с позиции каждого из братьев.

Первый подход зависит от деталей формулировки парадокса. В разделах «Простейшие объяснения » и «Физическая причина парадокса » будут приведены различные версии «парадокса» и даны объяснения того, почему противоречия на самом деле не возникает.

В рамках второго подхода расчёты показаний часов каждого из братьев проводятся как с точки зрения домоседа (что обычно не представляет труда), так и с точки зрения путешественника. Так как последний менял свою систему отсчёта , возможны различные варианты учёта этого факта. Их условно можно разделить на две большие группы.

К первой группе относятся вычисления на основе специальной теории относительности в рамках инерциальных систем отсчёта. В этом случае этапы ускоренного движения считаются пренебрежимо малыми по сравнению с общим временем полёта. Иногда вводится третья инерциальная система отсчёта, движущаяся навстречу путешественнику, при помощи которой показания его часов «передаются» брату-домоседу. В разделе «Обмен сигналами » будет приведен простейший расчёт, основанный на эффекте Доплера .

Ко второй группе относятся вычисления, учитывающие детали ускоренного движения . В свою очередь, они делятся по признаку использования или неиспользования в них теории гравитации Эйнштейна (ОТО). Расчёты с использованием ОТО основаны на введении эффективного гравитационного поля , эквивалентного ускорению системы, и учёте изменения в нём темпа хода времени. Во втором способе неинерциальные системы отсчёта описываются в плоском пространстве-времени и понятие гравитационного поля не привлекается. Основные идеи этой группы расчётов будут представлены в разделе «Неинерциальные системы отсчёта ».

Кинематические эффекты СТО

При этом, чем короче момент ускорения, тем оно больше, и как следствие больше разница в скорости часов на Земле и космического корабля, если он удалён от Земли в момент изменения скорости. Поэтому ускорением никогда нельзя пренебречь.

Конечно, сама по себе констатация несимметричности братьев не объясняет, почему замедлиться должны часы именно у путешественника, а не у домоседа. Кроме этого, часто возникает непонимание:

«Почему нарушение равноправия братьев в течение столь короткого времени (остановка путешественника) приводит к такому разительному нарушению симметрии?»

Чтобы глубже понять причины несимметричности и следствия, к которым они приводят, необходимо ещё раз выделить ключевые посылки, явно или неявно присутствующие в любой формулировке парадокса. Для этого будем считать, что вдоль траектории движения путешественника в «неподвижной» системе отсчёта, связанной с домоседом, расположены синхронно идущие (в этой системе) часы. Тогда возможна следующая цепочка рассуждений, как бы «доказывающих» противоречивость выводов СТО:

Путешественник, пролетая мимо любых часов, неподвижных в системе домоседа, наблюдает их замедленный ход.
Более медленный темп хода часов означает, что их накопленные показания отстанут от показаний часов путешественника, и при длительном полёте - сколь угодно сильно.
Быстро остановившись, путешественник по-прежнему должен наблюдать отставание часов, расположенных в «точке остановки».
Все часы в «неподвижной» системе идут синхронно, поэтому отстанут и часы брата на Земле, что противоречит выводу СТО.

Итак, почему путешественник на самом деле будет наблюдать отставание своих часов от часов «неподвижной» системы, несмотря на то, что все такие часы с его точки зрения идут медленнее? Наиболее простым объяснением в рамках СТО является то, что синхронизовать все часы в двух инерциальных системах отсчёта невозможно. Рассмотрим это объяснение подробнее.

Физическая причина парадокса

Во время полёта путешественник и домосед находятся в различных точках пространства и не могут сравнивать свои часы непосредственно. Поэтому, как и выше, будем считать, что вдоль траектории движения путешественника в «неподвижной» системе, связанной с домоседом, расставлены одинаковые, синхронно идущие часы, которые может наблюдать путешественник во время полёта. Благодаря процедуре синхронизации в «неподвижной» системе отсчёта введено единое время, определяющее в данный момент «настоящее» этой системы.

После старта путешественник «переходит» в инерциальную систему отсчёта , движущуюся относительно «неподвижной» со скоростью . Этот момент времени принимается братьями за начальный . Каждый из них будет наблюдать замедленный ход часов другого брата.

Однако, единое «настоящее» системы для путешественника перестаёт существовать. В системе отсчёта есть своё «настоящее» (множество синхронизированных часов). Для системы , чем дальше по ходу движения путешественника находятся части системы , тем в более отдалённом «будущем» (с точки зрения «настоящего» системы ) они находятся.

Непосредственно это будущее наблюдать путешественник не может. Это могли бы сделать другие наблюдатели системы , расположенные впереди по движению и имеющие синхронизированное с путешественником время.

Поэтому, хотя все часы в неподвижной системе отсчёта, мимо которых пролетает путешественник, идут с его точки зрения медленнее, из этого не следует , что они отстанут от его часов.

В момент времени , чем дальше впереди по курсу находятся «неподвижные» часы, тем больше их показания с точки зрения путешественника. Когда он достигает этих часов, они не успеют отстать настолько, чтобы скомпенсировать начальное расхождение времени.

Действительно, положим координату путешественника в преобразованиях Лоренца равной . Закон его движения относительно системы имеет вид . Время, прошедшее после начала полёта, по часам в системе меньше, чем в :

Другими словами, время на часах путешественника отстаёт от показаний часов системы . В то же время часы, мимо которых пролетает путешественник, неподвижны в : . Поэтому их темп хода для путешественника выглядит замедленным:

Таким образом:

несмотря на то, что все конкретные часы в системе идут медленнее с точки зрения наблюдателя в , разные часы вдоль его траектории будут показывать время, ушедшее вперед.

Разность темпа хода часов и - эффект относительный, тогда как значения текущих показаний и в одной пространственной точке - носят абсолютный характер. Наблюдатели, находящиеся в различных инерциальных системах отсчёта, но «в одной» пространственной точке, всегда могут сравнить текущие показания своих часов. Путешественник, пролетая мимо часов системы видит, что они ушли вперёд . Поэтому, если путешественник решит остановиться (быстро затормозив), ничего не изменится, и он попадёт в «будущее» системы . Естественно, после остановки темп хода его часов и часов в станет одинаковым. Однако, часы путешественника будут показывать меньшее время чем часы системы , находящиеся в точке остановки. В силу единого времени в системе часы путешественника отстанут от всех часов , в том числе и от часов его брата. После остановки путешественник может вернуться домой. В этом случае весь анализ повторяется. В результате, как в точке остановки и разворота, так и в исходной точке при возвращении путешественник оказывается моложе своего брата-домоседа.

Если же вместо остановки путешественника до его скорости ускорится домосед, то последний «попадёт» в «будущее» системы путешественника. В результате «домосед» окажется моложе «путешественника». Таким образом:

кто изменяет свою систему отсчёта, тот и оказывается моложе.

Обмен сигналами

Вычисление замедления времени с позиции каждого брата можно провести при помощи анализа обмена сигналами между ними. Хотя братья, находясь в различных точках пространства, не могут непосредственно сравнивать показания своих часов, они могут передавать сигналы «точного времени» при помощи световых импульсов или видеотрансляции изображения часов. Понятно, что при этом они наблюдают не «текущее» время на часах брата, а «прошлое», так как сигналу требуется время для распространения от источника к приёмнику.

При обмене сигналами необходимо учитывать эффект Доплера . Если источник удаляется от приёмника, то частота сигнала уменьшается, а когда он приближается - увеличивается:

где - собственная частота излучения, а - частота принимаемого наблюдателем сигнала. Эффект Доплера имеет классическую составляющую и составляющую релятивистскую, непосредственно связанную с замедлением времени. Скорость , входящая в соотношения изменения частоты, является относительной скоростью источника и приёмника.

Рассмотрим ситуацию, в которой братья передают друг другу каждую секунду (по своим часам) сигналы точного времени. Проведём сначала расчёт с позиции путешественника.

Расчёт путешественника

Пока путешественник удаляется от Земли, он, в силу эффекта Доплера , регистрирует уменьшение частоты принимаемых сигналов. Видеотрансляция с Земли выглядит более медленной. После быстрого торможения и остановки путешественник перестаёт удаляться от земных сигналов, и их период сразу оказывается равным его секунде. Темп видеотрансляции становится «естественным», хотя, в силу конечности скорости света, путешественник по-прежнему наблюдает «прошлое» своего брата. Развернувшись и разогнавшись, путешественник начинает «набегать» на идущие ему навстречу сигналы и их частота увеличивается. «Движения брата» на видеотрансляции с этого момента начинают выглядеть для путешественника ускоренными .

Время полёта по часам путешественника в одну сторону равно , и такое же в обратную. Количество принятых «земных секунд» в течение путешествия равно их частоте , умноженной на время. Поэтому при удалении от Земли путешественник получит существенно меньше «секунд»:

а при приближении, наоборот, больше:

Суммарное количество «секунд», полученных с Земли за время , больше, чем переданных на неё:

в точном соответствии с формулой замедления времени.

Расчёт домоседа

Несколько иная арифметика у домоседа. Пока его брат удаляется, он также регистрирует увеличенный период точного времени, передаваемый путешественником. Однако, в отличие от брата, домосед наблюдает такое замедление дольше . Время полёта на расстояние в одну сторону составляет по земным часам . Торможение и разворот путешественника домосед увидит спустя дополнительное время , требуемое свету для прохождения расстояния от точки разворота. Поэтому, только через время от начала путешествия домосед зарегистрирует ускоренную работу часов приближающегося брата:

Время движения света от точки разворота выражается через время полёта к ней путешественника следующим образом (см. рисунок):

Поэтому количество «секунд», полученных от путешественника, до момента его разворота (по наблюдениям домоседа) равно:

Сигналы с повышенной частотой домосед принимает в течение времени (см. рисунок выше), и получает «секунд» путешественника:

Суммарное число полученных «секунд» за время равно:

Таким образом, соотношение для показания часов в момент встречи путешественника () и брата-домоседа () не зависит от того, с чьей точки зрения оно рассчитывается.

Геометрическая интерпретация

, где - гиперболический арксинус

Рассмотрим гипотетический полёт к звёздной системе Альфа Центавра , удалённой от Земли на расстояние в 4,3 световых года . Если время измеряется в годах, а расстояния в световых годах, то скорость света равна единице, а единичное ускорение св.год/год² близко к ускорению свободного падения и примерно равно 9,5 м/c².

Пусть половину пути космический корабль двигается с единичным ускорением, а вторую половину - с таким же ускорением тормозит (). Затем корабль разворачивается и повторяет этапы разгона и торможения. В этой ситуации время полёта в земной системе отсчёта составит примерно 12 лет, тогда как по часам на корабле пройдёт 7,3 года. Максимальная скорость корабля достигнет 0,95 от скорости света.

За 64 года собственного времени космический корабль с единичным ускорением потенциально может совершить путешествие (вернувшись на Землю) к галактике Андромеды , удалённой на 2,5 млн св. лет . На Земле за время такого полёта пройдёт около 5 млн лет. Развивая вдвое большее ускорение (к которому тренированный человек вполне может привыкнуть при соблюдении ряда условий и использования ряда приспособлений, например, анабиоза), можно подумать даже об экспедиции к видимому краю Вселенной (около 14 млрд. св. лет), которая займёт у космонавтов порядка 50 лет; правда, возвратившись из такой экспедиции (через 28 млрд. лет по земным часам), её участники рискуют не застать в живых не то что Землю и Солнце, но даже нашу Галактику. Исходя из этих расчётов, разумный радиус доступности для межзвёздных экспедиций с возвратом не превышает нескольких десятков световых лет, если, конечно, не будут открыты какие-либо принципиально новые физические принципы перемещения в пространстве-времени. Впрочем, обнаружение многочисленных экзопланет даёт основания полагать, что планетные системы встречаются у достаточно большой доли звёзд, поэтому космонавтам будет что исследовать и в этом радиусе (например, планетные системы ε Эридана и Глизе 581).

Расчёт путешественника

Для проведения того же расчёта с позиции путешественника, необходимо задать метрический тензор , соответствующий его неинерциальной системе отсчёта . Относительно этой системы скорость путешественника нулевая, поэтому время на его часах равно

Заметим, что является координатным временем и в системе путешественника отличается от времени системы отсчёта домоседа.

Земные часы свободны, поэтому они движутся вдоль геодезической , определяемой уравнением :

где - символы Кристоффеля , выражающиеся через метрический тензор . При заданном метрическом тензоре неинерциальной системы отсчёта эти уравнения позволяют найти траекторию часов домоседа в системе отсчёта путешественника. Её подстановка в формулу для собственного времени даёт интервал времени, прошедший по «неподвижным» часам:

где - координатная скорость земных часов.

Подобное описание неинерциальных систем отсчёта возможно либо при помощи теории гравитации Эйнштейна , либо без ссылки на последнюю. Детали расчёта в рамках первого способа можно найти, например, в книге Фока или Мёллера . Второй способ рассмотрен в книге Логунова .

Результат всех этих вычислений показывает, что и с точки зрения путешественника его часы отстанут от часов неподвижного наблюдателя. В итоге разница времени путешествия с обеих точек зрения будет одинаковая, и путешественник окажется моложе домоседа. Если длительность этапов ускоренного движения много меньше длительности равномерного полёта, то результат более общих вычислений совпадает с формулой, полученной в рамках инерциальных систем отсчёта.

Выводы

Рассуждения, проводимые в истории с близнецами, приводят только к кажущемуся логическому противоречию. При любой формулировке «парадокса» полной симметричности между братьями нет. Кроме этого, важную роль для понимания того, почему время замедляется именно у путешественника, менявшего свою систему отсчёта, играет относительность одновременности событий.

Расчёт величины замедления времени с позиции каждого брата может быть выполнен как в рамках элементарных вычислений в СТО, так и при помощи анализа неинерциальных систем отсчёта. Все эти вычисления согласуются друг с другом и показывают, что путешественник окажется моложе своего брата-домоседа.

Парадоксом близнецов часто также называют сам вывод теории относительности о том, что один из близнецов состарится сильнее другого. Хотя такая ситуация и необычна, в ней нет внутреннего противоречия. Многочисленные эксперименты по удлинению времени жизни элементарных частиц и замедлению хода макроскопических часов при их движении подтверждают теорию относительности. Это даёт основание утверждать, что замедление времени, описанное в истории с близнецами, произойдёт и при реальном осуществлении этого мысленного эксперимента.

См. также

Примечания

Источники

Эйнштейн А. «К электродинамике движущихся тел », Ann. d. Phys.,1905 b. 17, s. 89, русский перевод в «Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырёх томах. Том 1. Работы по теории относительности 1905-1920.» М.: Наука, 1965.
Langevin P. «L’evolution de l’espace et du temps ». Scientia 10: 31-54. (1911)
Laue M. (1913) "Das Relativit\"atsprinzip ". Wissenschaft (No. 38) (2 ed.). (1913)
Эйнштейн А. «Диалог по поводу возражений против теории относительности », Naturwiss., 6, с.697-702. (1918). русский перевод «А. Эйнштейн, Собрание научных трудов», т. I, М., «Наука» (1965)
Паули В. - «Теория Относительности » М.: Наука, 1991.
Dingle Н. «Relativity and Space travel », Nature 177, 4513 (1956).
Dingle H. «A possible experimental test of Einstein’s Second postulate », Nature 183, 4677 (1959).
Coawford F. «Experimental verification of the clock-paradox in relativity », Nature 179, 4549 (1957).
Darvin S. , «The clock paradox in relativity », Nature 180, 4593 (1957).
Бойер Р. , «Парадокс часов и общая теория относительности », Эйнштейновский сборник, «Наука», (1968).
Campbell W. , «The clock paradox », Canad. Aeronaut. J.4, 9, (1958)
Frey R., Brigham V., «Paradox of the twins », Amer. J. Phys. 25, 8 (1957)
Leffert С. , Donahue T., «Clock paradox and the physics of discontinuous gravitational fields », Amer. J. Phys. 26, 8 (1958)
McMillan E., «The „clock-paradox“ and Space travel », Science, 126, 3270 (1957)
Romer R. , «Twin paradox in special relativity ». Amer. J. Phys. 27, 3 (1957)
Schild, A. «The clock paradox in relativity theory », Amer. Math. Mouthly 66, 1, 1-8 (1959).
Singer S., «Relativity and space travel », Nature 179,4567 (1957)
Скобельцын Д. В. , «Парадокс близнецов в теории относительности », «Наука», (1966).
Гольденблат И. И., «Парадоксы времени в релятивистской механике », М. «Наука», (1972).
Терлецкий Я. П. «Парадоксы теории относительности », М.: Наука (1965)
Угаров В. А. - «Специальная теория относительности » М.: «Наука», (1977)
Борн М. , «Космические путешествия и парадокс часов », УФН, 69, вып. 1 (1959)
Dray T., «The twin paradox revisited » Amer. J. of Phys. V.58, I.9, pp.822-825 (1990)
Debs T.A.. Redhead, M.L.G. «Paradox of the twins » Amer. J. of Phys. V.64; N.4, pp.384-391, (1996)
Cranor M.B., Heider E.M., Price R.H. «A circular twin paradox » Amer. J. of Phys. V.68; P.11, pp.1016-1020 (2000)
Muller T., King A., Adis D., «A trip to the end of the universe and the twin paradox» Amer. J. of Phys. V.76; N.4/5, pp.360-373 (2008)
Grandou T., Rubin J.L., «On the Ingredients of the Twin Paradox » Int.J. of Theor. Phys., V. 48, N.1, pp.101-114 (2009)
Парадокс близнецов
Ускоренное движение в специальной теории относительности

Просим прощения, что давно не репостили увлекательные статьи по ТО. Продолжаем. Начало вот тут:

Ну а сегодня мы рассмотрим, пожалуй, самый известный из парадоксов относительности, который называется "парадокс близнецов".
Сразу говорю, что никакого парадокса на самом деле нет, а проистекает он от неправильного понимания происходящего. И если всё правильно понять, а это, уверяю, совсем не сложно, то никакого парадокса не будет.

Начнём мы с логической части, где посмотрим, как парадокс получается и какие логические ошибки к нему приводят. А потом перейдем к предметной части, в которой посмотрим механику того, что происходит при парадоксе.

Сперва напомню вам наше базовое рассуждение о замедлении времени.

Помните анекдот про Жору Батарейкина, когда за Жорой послали следить полковника, а за полковником - подполковника? Нам понадобится воображение, чтбы представить себя на месте подполковника, то есть, понаблюдать за наблюдателем.

Итак, постулат относительности гласит, что скорость света одинакова с точки зрения всех наблюдателей (во всех системах отсчёта, выражаясь наукообразно). Так вот, даже если наблюдатель полетит вдогонку свету со скоростью 2/3 скорости света, он всё равно увидит, что свет убегает от него с прежней скоростью.

Давайте посмотрим на эту ситуацию со стороны. Свет летит вперед со скоростью 300000 км/с, а вдогонку ему летит наблюдатель, со скоростью 200000 км/с. Мы-то видим, что расстояние между наблюдателем и светом увеличивается (в оригинале у автора описка - прим. Quantuz ) со скоростью 100000 км/с, но сам наблюдатель этого не видит, а видит те же самые 300000 км/с. Как это может быть так? Единственной (почти! ;-) причиной такому явлению может быть то, что наблюдатель замедлен. Он медленно двигается, медленно дышит и медленно измеряет скорость по медленным часам. В результате удаление со скоростью 100000 км/с он воспринимает, как удаление со скоростью 300000 км/с.

Помните другой анекдот, про двух наркоманов, которые увидели, как по небу несколько раз пронесся огненный шар, а потом оказалось, что они простояли на балконе три дня, а огненный шар - это было солнце? Так вот этот наблюдатель как раз и должен находиться в состоянии такого замедленного наркомана. Разумеется, это будет видно только нам, а сам он ничего особенного не заметит, ведь замедлятся все процессы вокруг него.

Описание эксперимента

Чтобы драматизировать данный вывод, неведомый автор из прошлого, возможно, сам Эйнштейн, придумал следующий мысленный эксперимент. На земле живут два брата-близнеца - Костя и Яша.

Если бы братья жили вместе на земле, то они синхронно прошли бы следующие стадии взросления и старения (прошу прощения за некоторую условность):

Но всё происходит не так.

Еще подростком Костя, назовём его космическим братом, садится в ракету и отправляется к звезде, расположенной в нескольких десятках световых лет от Земли.
Полёт совершается с околосветовой скоростью и поэтому путь туда и обратно занимает шестьдесят лет.

Костя, которого назовём земным братом, никуда не летит, а терпеливо ждет своего родственника дома.

Предсказание относительности

Когда космический брат возвращается, то земной оказывается постаревшим на шестьдесят лет.

Однако, поскольку космический брат находился всё время в движении, его время шло медленнее, поэтому, по возвращении, он окажется постаревшим всего на 30 лет. Один близнец окажется старше другого!

Многим кажется, что данное предсказание ошибочно и эти люди называют парадоксом близнецов само это предсказание. Но это не так. Предсказание совершенно истинно и мир устроен именно так!

Давайте еще раз посмотрим логику предсказания. Допустим, земной брат неотрывно наблюдает за космическим.

Кстати, я уже неоднократно говорил о том, что многие допускают здесь ошибку, неправильно интерпретируя понятие "наблюдает". Они думают, что наблюдение обязательно должно происходить при помощи света, например, в телескоп. Тогда, думают они, поскольку свет распространяется с конечной скоростью, всё, что наблюдается, будет видеться таким, каким оно было раньше, в момент испускания света. Из-за этого, думают эти люди, и возникает замедление времени, которое, таким образом, является кажущимся явлением.
Другим вариантом этого же заблуждения является списание всех явлений на эффект Доплера: поскольку космический брат удаляется от земного, то каждый новый "кадр изображения" приходит на Землю всё позже, а сами кадры, таким образом, следуют реже, чем надо, и влекут за собой замедление времени.
Оба объяснения неверны. Теория относительности не настолько глупа, чтобы не учитывать эти эффекты. Посмотрите сами на наше утверждение относительно скорости света. Мы там написали "всё равно увидит, что", но мы не имели в виду именно "увидит глазами". Мы имели в виду "получит в результате, с учётом всех известных явлений". Обратите внимание, что вся логика рассуждений нигде не основывается на том, что наблюдение происходит при помощи света. И если Вы всё время представляли себе именно это, то перечитайте всё заново, представляя, как надо!

Для неотрывного наблюдения надо, чтобы космический брат, допустим, каждый месяц отсылал на Землю факсы (по радио, со скоростью света) со своим изображением, а земной брат развешивал бы их на календаре с учётом задержки передачи. Получалось бы, что сначала земно брат вешает свою фотографию, а фотографию брата того же времени вешает позже, когда она до него долетает.

По теории он будет всё время видеть, что время у космического брата течёт медленнее. Оно будет течь медленнее в начале пути, в первой четверти пути, в последней четверти пути, в конце пути. И из-за этого будет постоянно накапливаться отставание. Только во время разворота космического брата, в тот миг, когда он остановится, чтобы полететь назад, его время будет идти с той же скоростью, что и на Земле. Но это не изменит итогового результата, так как суммарное отставание всё равно будет. Следовательно, в момент возвращения космического брата отставание сохранится и значит, оно уже останется навсегда.

Как видите, логических ошибок тут нет. Однако, вывод выглядит очень удивительным. Но тут ничего не поделаешь: мы живем в удивительном мире. Данный вывод многократно подтверждался, как для элементарных частиц, которые проживали больше времени, если находились в движении, так и для самых обыкновенных, только очень точных (атомных) часов, которые отправлялись в космический полёт и потом обнаруживалось, что они отстают от лабораторных на доли секунды.

Подтвердился не только сам факт отставания, но и его численное значение, которое можно рассчитать по формулам из одного из предыдущих выпусков.

Кажущееся противоречие

Итак, отставание будет. Космический брат будет моложе земного, можете не сомневаться.

Но возникает другой вопрос. Ведь движение относительно! Следовательно, можно считать, что космический брат никуда не летал, а оставался всё время неподвижным. Зато вместо него в путешествие летал земной брат, вместе с самой планетой Земля и всем остальным. А раз так, то значит больше постареть должен космический брат, а земной - остаться более молодым.

Получается противоречие: оба рассмотрения, которые должны быть равнозначными по теории относительности, приводят к противоположным выводам.

Вот это противоречие и называется парадоксом близнецов.

Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта

Как же нам разрешить это противоречие? Как известно, противоречий быть не может:-)

Поэтому мы должны придумать, что же мы такого не учли, из-за чего возникло противоречие?

Сам вывод того, что время должно замедляться - безупречен, ибо он слишком прост. Следовательно, ошибка в рассуждениях должна присутствовать позже, там, где мы предположили, что братья равноправны. Значит, на самом деле братья неравноправны!

Я уже говорил в самом первом выпуске, что не всякая относительность, которая кажется, существует на самом деле. Например, может показаться, что если космический брат разгоняется прочь от Земли, то это равносильно тому, что он остаётся на месте, а разгоняется сама Земля, прочь от него. Но это не так. Природа не соглашается с этим. По каким-то причинам природа создаёт для того, кто разгоняется перегрузки: его прижимает к креслу. А для того, кто не разгоняется - перегрузок не создаёт.

Почему природа так поступает - в данный момент не важно. В данный момент важно научиться представлять себе природу как можно правильней.

Итак, братья могут быть неравноправны при условии, что один из них разгоняется или тормозит. Но у нас ведь именно такая ситуация: улететь с Земли и вернуться на неё можно только разогнавшись, развернувшись и затормозив. Во всех этих случаях космический брат испытывал перегрузки.

Каков вывод? Логический вывод прост: мы не имеем права заявлять, что братья равноправны. Следовательно, рассуждения о замедлении времени верны лишь с точки зрения одного из них. Какого? Разумеется, земного. Почему? Потому, что мы не задумывались о перегрузках и представляли все так, словно их не было. Мы, например, не можем утверждать, что в условиях перегрузок скорость света остаётся постоянной. Следовательно, мы не можем утверждать, что в условиях перегрузок происходит замедление времени. Всё, что мы утверждали - мы утверждали для случая отсутствия перегрузок.

Когда учёные дошли до этого момента, они поняли, что им требуется специальное название для описания "нормального" мира, мира без перегрузок. Такое описание было названо описанием с точки зрения инерциальной системы отсчёта (сокращенно - ИСО). Новое же описание, которое еще не было создано, было названо, естественно, описанием с точки зрения неинерциальной системы отсчёта .

Что же такое инерциальная система отсчёта (ИСО)

Ясно, что первое , что мы можем сказать об ИСО - это такое описание мира, которое нам кажется "нормальным". То есть, это то описание, с которого мы начали.

В инерциальных системах отсчёта действует так называемый закон инерции - каждое тело, будучи предоставлено самому себе, либо остаётся в покое, либо движется равномерно и прямолинейно. Из-за этого системы и были так называны.

Если сесть в космический корабль, автомобиль или поезд, которые движутся абсолютно равномерно и прямолинейно с точки зрения ИСО, то внутри такого транспортного средства мы не сможем заметить движения. А это значит, что такая система наблюдения - тоже будет ИСО.

Следовательно, второе, что мы можем сказать об ИСО, что всякая система, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно ИСО - также будет ИСО.

Что же мы можем сказать об не-ИСО? О них мы можем сказать пока лишь то, что система, движущаяся относительно ИСО с ускорением - будет не-ИСО.

Часть последняя: история Кости

Теперь попробуем выяснить, как же будет выглядеть мир с точки зрения космического брата? Пусть он также получает факсы от земного брата и развешивает их на календаре с учётом времени полета факса с Земли до корабля. Что он получит?

Чтобы до этого догадаться, нужно обратить внимание на следующий момент: во время путешествия космического брата есть участки, на которых он движется равномерно и прямолинейно. Допустим, при старте брат ускоряется с огромной силой так, что достигает крейсерской скорости за 1 день. После этого он летит много лет равномерно. Затем, в середине пути, он также стремительно за один день разворачивается и летит обратно опять равномерно. В конце пути он очень резко, за один день, тормозит.

Разумеется, если посчитать, какие нам нужны скорости и с каким ускорением надо разгоняться и разворачиваться, мы получим, что космического брата должно попросту размазать по стенкам. Да и сами стенки космического корабля, если они сделаны из современных материалов - не смогут выдержать таких перегрузок. Но нам сейчас важно не это. Допустим, у Кости имеются супер-пупер противоперегрузочные кресла, а корабль сделан из инопланетянской стали.

Что же получится?

В самый первый миг полета, как нам известно, возрасты братьев равны. В течение первой половины полёта он происходит инерциально, а значит, к нему применимо правило замедления времени. То есть, космический брат будет видеть, что земной стареет в два раза медленнее. Следовательно, через 10 лет полета Костя постареет на 10 лет, а Яша - только на 5.

К сожалению, я не нарисовал 15-летнего близнеца, поэтому я буду использовать 10-летнюю картинку с припиской "+5".

Аналогичный результат получается из анализа конца пути. В самый последний миг возрасты братьев равны 40 (Яша) и 70 (Костя), мы это знаем точно. Кроме того, мы знаем, что вторая половина полёта также протекала инерциально, а значит, облик мира с точки зрения Кости соответствует нашим выводам о замедлении времени. Следовательно, за 10 лет до окончания полёта, когда космическому брату будет 30 лет, он заключит, что земному уже 65, ибо до окончания полёта, когда соотношение будет 40/70, он будет стареть в два раза медленнее.

Опять-таки, у меня нет 65-летнего рисунка и я буду использовать 70-летний с пометкой "-5".

Сводку наблюдений космического брата я поместил ниже.

Как видим, у космического брата получается нестыковка. Всю первую половину пути он наблюдает, что земной брат стареет медленно и еле отрывается от начального возраста в 10 лет. Всю вторую половину полёта он наблюдает, как земной брат еле-еле подтягивается к возрасту 70 лет.

Где-то между этими участками, в самой середине полёта, должно происходить что-то, что "сшивает" процесс старения земного брата воедино.

Мы собственно, не будем дальше темнить и гадать, что же там такое происходит. Мы просто прямо и честно сделаем вывод, который следует с неизбежностью. Если за миг до разворота земному брату было 17,5 лет, а после разворота стало 52,5, то это означает ни что иное, как тот факт, что за время разворота космического брата у земного прошло 35 лет!

Выводы

Итак мы увидели, что существует так называемый парадокс близнецов, который заключается в кажущемся противоречии в том, у кого именно из двух близнецов замедляется время. Сам факт замедления времени - парадоксом не является.

Мы увидели, что существуют инерциальные и неинерциальные системы отсчёта, причём законы природы, полученные нами ранее, относились лишь к инерциальным системам. Именно в инерциальных системах наблюдается замедление времени на движущихся космических кораблях.

Мы получили, что в неинерциальных системах отсчёта, например, с точки зрения разворачивающихся космических кораблей, время ведёт себя еще более странно - оно проматывается вперёд.

Прим. Quantuz: автор дал еще ссылку на дополнительное разъяснение парадокса близнецов с флеш-анимацией. Можете попробовать перейти по ссылке на вэб-архив , где бережно сохранена эта статья. Рекомендуем для более глубокого понимания. До встречи на страницах нашего уютненького.

Парадокс близнецов окутан романтикой межзвездных перелетов и туманом неверных толкований. Широкую известность он получил благодаря формулировке Поля Ланжевена (1911 г.), которая в популярном пересказе звучит следующим образом:

Один брат-близнец остаётся на Земле, а второй отправляется в космические странствия с околосветовой скоростью. С точки зрения домоседа, двигающийся относительно него путешественник имеет замедленный ход времени. Поэтому при возвращении он окажется моложе. Однако, с точки зрения космонавта двигалась Земля, поэтому моложе должен оказаться брат-домосед.

Слово "парадокс" имеет несколько значений. Например, парадоксальны многие выводы теории относительности, так как они противоречат привычным представлениям. В такой парадоксальности, конечно, нет ничего плохого. Любая новая теория "непривычна " и требует смены старых представлений. Однако, при описании истории с близнецами "парадокс" является синонимом "логического противоречия ". Проведя рассуждение об одном и том же событии (встреча братьев) двумя различными способами, мы получаем разный результат. Конечно, в непротиворечивой теории подобного происходить не должно.

Парадоксу близнецов посвящена обширнейшая литература. Общепринятое объяснение состоит в следующем. Для того, чтобы братья могли непосредственно сравнить свой возраст, одному из них (путешественнику) необходимо вернуться, а для этого испытать этапы ускоренного движения, перейдя в неинерциальную систему отсчета. Поэтому полной симметрии между братьями нет. Естественно, подобное снятие парадокса не объясняет, почему именно космонавт должен стать моложе. Кроме этого, сразу возникает следующее возражение: "если всё дело в ускорении, то этапы разгона и торможения можно сделать сколь угодно короткими (для каждого наблюдателя!) по сравнению с произвольно длинными и симметричными этапами равномерного движения".

На это отвечают, что расчет, в рамках общей теории относительности, дает одинаковый для каждого брата ответ. Конечно, гравитация к этому расчету не имеет никакого отношения, и используемая при этом дифференциальная геометрия служит математическим аппаратом описания неинерциальных систем отсчёта. Подобные расчёты абсолютно верны, однако физические причины произошедшего с братьями при этом часто оказываются скрытыми.

Наш анализ мы начнем с замечания о том, что возвращаться брату-путешественнику, необязательно. Ему достаточно затормозить, перейдя в систему отсчета, связанную с Землёй. Находясь далеко, но оставаясь относительно друг друга неподвижными, братья без труда могут синхронизировать своё время и выяснить как разошлись их часы (физические и биологические). При желании можно, конечно, рассмотреть новый старт космического корабля и его возвращение на Землю. Однако ни каких новых эффектов при этом не произойдет, и все времена необходимо будет просто умножить на два. По большому счету, нет даже необходимости и в ускоренном старте с Земли. Можно рассмотреть одновременное рождение братьев в двух различных инерциальных системах отсчета, когда они пролетали друг мимо друга. Оставляя в стороне физиологические детали подобного рождения, подчеркнем, что, когда братья находятся в различных системах, но в одной пространственной точке, они легко могут согласовать начальный момент времени (факт их рождения).

Так сформулированную историю мы подробно рассмотрели в разделе "Время ". В результате относительности одновременности части двигающейся системы отсчета, расположенные по ходу её движения, "находятся в прошлом", а части против движения — в будущем. И чем дальше они от точки рождения братьев , тем сильнее эффект:

Космонавт, летящий мимо любых "неподвижных" часов , видит, что они идут медленнее, чем его собственные . Однако на всех таких часах, встречающихся ему на пути , он наблюдает будущее время: в . Аналогично, сотрудники космопортов, мимо которых пролетает космонавт, видят его моложе. Пролетающие в это же время мимо брата-домоседа "племянники-одногодки" (на последних кораблях эскадры) выглядят старше землянина. Эти эффекты абсолютны для наблюдателей разных систем, находящихся в одной пространственной точке, поэтому не изменятся при остановке . Для понимания парадокса близнецов, на самом деле, нет необходимости даже рассматривать неинерциальные системы отсчета! Если остановится космонавт, то он "попадёт в будущее" земной системы отсчета и будет там моложе. Точно так же, если ускорится землянин, то он окажется в будущем системы космонавта и там будет моложе.

"Парадокс" близнецов можно проанализировать и без дорогостоящих инвестиций в строительство космопортов. Предположим, что два брата с момента расставания, начинают транслировать друг другу свои видеоизображения. Путешественник видит брата, сидящего в кресле у камина, на котором стоят часы. Тот, в свою очередь, на мониторе видит кабину космолёта с электронными часами над штурвалом, за которым сидит его мужественный брат-путешественник. Космический корабль должен достичь ближайшей звезды, удалённой на расстояние от Земли, и вернуться обратно. Приведём выписки из бортового журнала космического корабля.

Дневник путешествия . Совершив быстрый разгон, выхожу на околосветовую скорость. Перегрузки колоссальные, но благодаря последним достижениям биокибернетики переношу их сравнительно легко. Время начала путешествия по моим часам совпадает с временем брата-домоседа. Однако частота принимаемого сигнала со стремительно удаляющейся Земли заметно уменьшилась. Движения моего брата выглядят замедленными. Это и понятно, эффект Доплера ещё никто не отменял. Звёзды по курсу сбились в кучу, тогда как сзади, вокруг родной Земли, их заметно поубавилось, и они покраснели. Тут тоже всё понятно — аберрация плюс изменение частоты. Расстояния между автоматическими маяками, расставленными вдоль моей трассы уменьшились , и, следовательно, время полёта к звезде по моим часам составит , а не , как виделось нам с братом с Земли. Поэтому время путешествия должно получиться короче , чем по часам моего брата. Посмотрим, посмотрим. Кстати, о брате — секундная стрелка на его каминных часах еле ползёт, и время, которое они показывают, существенно отстаёт от моего. Этот результат — сумма эффекта Доплера и задержки видеотрансляции из-за конечности скорости света .

Достигнув цели путешествия, резко торможу и делаю памятные фотографии на фоне звезды. После торможения стрелка на каминных часах брата сразу начала свой естественный бег, хотя, конечно, общее время, прошедшее с начала полёта не изменилось, и сильно отстаёт от моего. Больше делать у одинокой звезды нечего, поэтому резко ускоряюсь в обратном направлении. Придя в себя после разгона, вижу, что часы брата заметно ускорились, и их секундная стрелка крутится, как угорелая.

До Земли осталось совсем немного. За время обратного путешествия часы брата успели наверстать отставание и, более того, обогнали мой хронометр. Завтра торможение и наша долгожданная встреча. Однако уже нет никаких сомнений в том, что теперь в семье младший брат — я.

Разберёмся с физикой впечатлений, описанных путешественником. Пусть братья передают друг другу каждую секунду (по своим часам) сигналы точного времени. Будем считать, что ускоренные движения космолёта очень короткие (с точки зрения обоих братьев) по сравнению со временем всего путешествия. Пока космолёт удаляется от Земли, каждый брат, в силу эффекта Доплера , видит уменьшение частоты (увеличение периода) принимаемых сигналов. После торможения у звезды путешественник перестаёт "убегать" от земных сигналов, и их период сразу становится равным его секунде. Развернувшись и разогнавшись, путешественник начинает "наскакивать" на идущие ему навстречу сигналы и их частота увеличивается (период уменьшается).

Время путешествия по его часам в одну сторону равно , и такое же в обратную. Количество принятых "земных секунд" за время путешествия равно их частоте , умноженной на время:

Поэтому при удалении от Земли космонавт получил существенно меньше секунд (первое слагаемое), а при приближении, соответственно, больше (второе слагаемое). Суммарное количество секунд, полученных с Земли, больше, чем переданных на неё, в точном соответствии с формулой замедления времени.

Несколько иная арифметика у землянина. Пока его брат удаляется, он также регистрирует увеличение периодов точного времени передаваемых с космолёта. Однако, в отличие от брата, землянин наблюдает такое замедление дольше . Время полёта к звезде составляет по земным часам . Событие торможения путешественником у звезды землянин увидит спустя дополнительное время , требуемое свету для прохождения расстояния от звезды. Поэтому только через от начала путешествия на мониторе он увидит ускоренную работу часов приближающегося брата:

Учитывая, что времена равны и , имеем:

Таким образом, эффект замедления времени брата, менявшего свою систему отсчета, абсолютен, т.е. одинаков для обоих братьев.

Самое парадоксальное в парадоксе близнецов, то, что иногда его проще объяснить, чем сформулировать. Часто этот парадокс воспринимают поверхностно, поэтому приведём следующее "глубокое" рассуждение:

Ладно, пусть близнецы не равноправны и космонавт менял систему отсчёта. Нет особых возражений и к его описанию на основе эффекта Доплера. Однако, это всё равно не снимает парадокса в следующей формулировке. Космонавт, пролетая мимо всех часов , неподвижных в земной системе отсчёта, видит, что они идут медленнее его часов. Он "бывший землянин" и знает, что все эти часы одинаковые. Поэтому он должен сделать вывод, что и время его брата течёт медленнее. Интервалы времени, в отличии от длин линеек, накапливаются, и поэтому при остановке показания часов не могут сравняться. Более того, если остановка очень быстрая по сравнению с временем равномерного движения, она ни как не может привести к тому, что отставшие часы земного брата скачком обгонят часы космического корабля. Поэтому время на Земле должно (с точки зрения космонавта) отстать, и земной брат оказаться младше. Однако это противоречит аналогичному рассуждению с точки зрения землянина, относительно которого все процессы у двигающихся объектов замедляются. А раз так, то при возвращении путешественника (когда часы можно сравнить непосредственно), произойдёт непонятно что...

В этом неверном рассуждении забывают, что, кроме замедления времени, есть ещё один эффект — относительность одновременности. В классической механике для всех наблюдателей, независимо от их движения, существует единое настоящее. В теории относительности ситуация иная. Такое "единое настоящее" существует только для неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Однако, для наблюдателей, двигающихся мимо такой системы, она представляет собой непрерывное объединение прошлого, настоящего и будущего. Находящиеся далеко впереди по движению наблюдатели видят отдалённое будущее неподвижной системы отсчёта, а двигающиеся сзади — прошлое.

Все часы, мимо которых пролетают космонавты, идут медленнее, чем их собственные. Однако из этого не следует, что они должны показывать меньше "накопленного" времени! Имея более медленный ход, такие часы находятся в будущем земной системы отсчёта, и, когда космонавт до них добирается, они "не успевают" отстать настолько, чтобы скомпенсировать это будущее.

В заключение истории о парадоксе близнецов расскажем сказку .

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Хотите удивить всех своей молодостью? Отправляйтесь в длительный космический полет! Хотя, когда вернетесь, удивляться, скорее всего, уже будет некому...

Давайте проанализируем историю двух братьев-близнецов.
Один из них - «путешественник» отправляется в космический полёт (где скорость движения ракет околосветовая), второй - «домосед» остаётся на Земле. А вопрос-то в чем? - в возрасте братьев!
После космического путешествия останутся они одного возраста, или кто-то из них (и кто именно)станет старше?

Еще в 1905 г. Альбертом Эйнштейном в Специальной Теории Относительности (СТО) был сформулирован эффект релятивистского замедления времени , согласно которому часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее неподвижных часов и показывают меньший промежуток времени между событиями. Причем заметно это замедление при околосветовых скоростях.

Именно после выдвижения Эйнштейном СТО французским физиком Полем Ланжевеном был сформулирован «парадокс близнецов» (или иначе "парадокс часов") . Парадокс близнецов (иначе "парадокс часов") – это мысленный эксперимент, с помощью которого пытались объяснить возникшие противоречия в СТО.

Итак, вернемся к братьям –близнецам!

Домоседу должно показаться, что часы движущегося путешественника имеют замедленный ход времени, поэтому при возвращении они должны отстать от часов домоседа.
А с другой стороны, относительно путешественника двигается Земля, поэтому он считает, что отстать должны часы домоседа.

Но, не могут оба брата быть одновременно один старше другого!
Вот в этом и парадокс …

С точки зрения существовавшей на время возникновения «парадокса близнецов» в данной ситуации возникало противоречие.

Однако, парадокса, как такового, в действительности не существует, т.к. надо помнить, что СТО - это теория для инерциальных систем отсчёта! А, система отсчёта по крайней мере одного из близнецов не было инерциальной!

На этапах разгона, торможения или разворота путешественник испытывал ускорения, и поэтому к нему в эти моменты неприменимы положения СТО.

Здесь надо пользоваться Общей Теорией Относительности , где с помощью расчетов доказывается, что:

Вернемся , к вопросу о замедлении времени в полете!
Если свет проходит какой либо путь за время t.
Тогда продолжительность полета корабля для «домоседа» будет Т= 2vt/c

А для «путешественника» на космическом корабле по его часам (основываясь на преобразовании Лоренца) пройдет всего To=Tумноженное на корень квадратный из (1-v2/c2)
В результате, расчеты (в ОТО) величины замедления времени с позиции каждого брата покажут, что брат- путешественник окажется моложе своего брата-домоседа.

Для примера можно просчитать мысленно полёт к звёздной системе Альфа Центавра, удалённой от Земли на расстояние в 4.3 световых года (световой год – расстояние, которое проходит свет за год). Пусть время измеряется в годах, а расстояния в световых годах.

Пусть половину пути космический корабль двигается с ускорением, близким к ускорению свободного падения, а вторую половину - с таким же ускорением тормозит. Проделывая обратный путь, корабль повторяет этапы разгона и торможения.

В этой ситуации время полёта в земной системе отсчёта составит примерно 12 лет, тогда как по часам на корабле пройдёт 7,3 года. Максимальная скорость корабля достигнет 0,95 от скорости света.

За 64 года собственного времени космический корабль с подобным ускорением может совершить путешествие к галактике Андромеды (туда и обратно). На Земле за время такого полёта пройдёт около 5 млн лет.

Важную роль для понимания того, почему время замедляется именно у путешественника, менявшего свою систему отсчёта, играет относительность одновременности событий.

Уже проведенные эксперименты по удлинению времени жизни элементарных частиц и замедлению хода часов при их движении подтверждают теорию относительности.

Это даёт основание утверждать, что замедление времени, описанное в истории с близнецами, произойдёт и при реальном осуществлении этого мысленного эксперимента.